Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел записанных в тригонометрической форме.

Вернёмся к формулам из прошлого пункта:
a=rcos, b=rsin
Эти формулы связывают действительную и мнимую части комплексного числа z=a+bi с его модулем r и аргументом . Каждео комплексное число z=a+bi, отличное от нуля, может быть следовательно записано в виде:
z=r(cos+isin)
Данная форма записи называется тригонометрической.
Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи числа к тригонометрической, достаточно найти модуль комплексного числа и один из его аргументов.
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел очень полезна при делении и умножении чисел. Прежде чем перейти к рассмотрению этих операций, отметим, что два комплексных числа: z₁=r₁(cos₁+isin₁) и z₂=r₂(cos₂+isin₂)
равны тогда и только тогда, когда r₁=r₂,₁=₂ +k, k принадлежит множеству целых чисел. Т.е. когда модули чисел равны, а аргументы отличаются на k, где k - некоторое целое число.
Пусть теперь:
z₁=r₁(cos₁+isin₁) и z₂=r₂(cos₂+isin₂) -
два числа записанные в тригонометрической форме.
Представим в тригонометрической форме их произведение:
z₁z₂=r₁r₂(cos₁cos₂ -sin₁sin₂+isin₁cos₂+ icos₁sin₂)
или
z₁z₂=r₁r₂(cos(₁+₂) -isin(₁+₂))
Следовательно,
|z₁z₂|= r₁r₂, arg(z₁z₂)=₁+ ₂+k, где k-некоторое целое число.
Таким образом, справедливо следующее утверждение: модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.
Перейдем к делению чисел. Запишем частное двух комплексных чисел -
z₁=r₁(cos₁+isin₁) и z₂=r₂(cos₂+isin₂)
в тригонометрической форме. Умножая числитель и знаменатель частного z₁/z₂ на
cos₂-isin₂, получим:


или,

Следовательно:

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел, разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.